DESCRIPCIÓN

Para mantener el movimiento de cualquier oscilador real es preciso suministrarle energía que contrarreste la pérdida debida a la fricción. En este caso se dice que el oscilador es forzado externamente. La fuerza aplicada suministra energía al sistema. Si la energía que aporta la fuerza aplicada es mayor que la que disipa la fuerza de rozamiento, la amplitud de las oscilaciones del sistema aumenta. Cuando la energía aportada por la fuerza aplicada es igual a la disipada por rozamiento, la amplitud de oscilación del sistema permanece constante.

Oscilador forzado

Para ilustrar este tipo de movimiento consideremos una masa m unida al extremo de un muelle elástico de constante k, a un amortiguador de constante de amortiguamiento r, y sometido a una fuerza armónica aplicada.

Resonancia

Las amplitudes del desplazamiento y de la velocidad para la solución estacionaria del oscilador amortiguado dependen de las características físicas del oscilador y de la frecuencia de la fuerza aplicada. En la frecuencia w a la que la amplitud del desplazamiento se hace máxima se dice que se produce resonancia en amplitud. Cuando es la amplitud de la velocidad la que se hace máxima se dice que se produce resonancia en energía.

El fenómeno de resonancia se manifiesta en la mayoría de los sistemas naturales. Es bien conocido que cuando una formación de soldados cruza un puente, rompe el paso, para evitar que la frecuencia de la marcha sea próxima a la frecuencia natural de la estructura. La resonancia es observada con frecuencia en maquinaria rotatoria. Un circuito receptor de radio o TV sintoniza en una frecuencia específica ajustando la frecuencia natural del circuito receptor para que sea exactamente igual a la frecuencia del transmisor. Y sistemas atómicos o nucleares exhiben fenómenos de resonancia cuando son excitados con luz o partículas.

DESCRIPCIÓN

Suponemos varios osciladores acoplados de forma que el movimiento de uno de ellos influye en todos los demás. El efecto neto del acoplamiento de dos o más osciladores se puede describir como un intercambio de energía entre ellos. El movimiento ondulatorio debe su existencia a sistemas vibrantes próximos que son capaces de transmitir su energía unos a otros.

La transferencia de energía entre dos osciladores se debe a que ambos comparten un elemento (rigidez, masa o resistencia). El acoplamiento de resistencia inevitablemente conlleva pérdida de energía y por lo tanto un rápido decaimiento de la vibración. Sin embargo, el decaimiento vía rigidez o masa no consume potencia, siendo posible la transferencia continua de energía entre muchos osciladores, lo que constituye la base del movimiento ondulatorio.

Consideremos como ejemplo un sistema mecánico con acoplamiento de rigidez: dos partículas iguales de masa m unidas, cada una de ellas, a un muelle de constante elástica k, y acopladas a través de un tercer muelle de constante k_c.

Dos osciladores acoplados

Modos normales de vibración de dos osciladores acoplados

Los modos normales de vibración son casos especiales del movimiento de osciladores acoplados. Corresponden al caso en el que las dos partículas se mueven con la misma frecuencia y mantienen una diferencia de fase constante.

Modos normales de vibración de un sistema de muelles y partículas

Hasta ahora hemos considerado un sistema oscilante compuesto por dos masas y tres muelles. Este sistema presenta dos modos longitudinales de vibración y también dos transversales (movimiento de las partículas perpendicular a la línea de los muelles). En ambas parejas, longitudinal y transversal, aparece un modo de baja frecuencia en el que las masas se mueven en la misma dirección, y un modo de alta frecuencia en el que las masas se mueven en direcciones opuestas.

Si intentamos generalizar estos resultados para el caso de sistemas con un mayor número de masas, encontramos resultados similares: para el sistema de tres masas que sólo puede moverse en un plano aparecen tres modos longitudinales y tres normales.

Si aumentamos el número de masas y muelles en nuestra distribución lineal aumenta también el número de modos normales: para cada masa que se añade aparece un nuevo modo longitudinal y otro transversal. De esta forma podemos generalizar diciendo que un conjunto de N masas iguales unidas por muelles idénticos y que puede vibrar en un plano, tiene N modos normales longitudinales y N transversales.

Oscilaciones forzadas de un sistema de muelles y partículas

En la sección anterior, hemos considerado los distintos modos normales de vibración de un sistema. En ésta, consideramos cómo se excitan aplicando una fuerza oscilante de amplitud F_o y frecuencia angular w_f. Este es el caso de una experiencia de laboratorio que consiste en un sistema de péndulos que unimos mediante muelles. El primero, lo unimos mediante una cuerda a una punta clavada en la periferia de un disco que gira accionado por un motor de velocidad variable. La situación que se describe corresponde a las oscilaciones forzadas de un sistema formado por partículas y muelles. Se excita un determinado modo de vibración siempre que la frecuencia de la fuerza oscilante sea igual a la frecuencia de dicho modo de vibración. Se dice entonces que  el sistema  está en resonancia.

Ondas mecánicas y ondas armónicas

Cuando el número de masas de nuestro sistema lineal aumenta, éste se nos aparece como un sistema unidimensional continuo, ya que notamos cada vez menos cada elemento individual. Podemos introducir el concepto de onda mecánica como la propagación de una perturbación en un medio material, aprovechando las propiedades elásticas de dicho medio. En este sencillo modelo, las partículas del medio están representadas por las masas, mientras que sus propiedades elásticas vienen representadas por los muelles. Cuando la primera partícula se desvía longitudinalmente de su posición de equilibrio y a continuación se suelta, su movimiento se transmite a la segunda partícula y de ésta a la tercera, y así sucesivamente. El resultado es la propagación de un pulso longitudinal. El movimiento longitudinal de las masas tiene semejanza con el de las partículas de un medio material en el se propaga una onda longitudinal. En el caso de que las masas se desplazaran transversalmente el movimiento que percibiríamos sería semejante a la propagación de una onda transversal en el medio material. Existen otros casos en los que los movimientos de las partículas del medio no son ni puramente longitudinales ni transversales (por ejemplo las ondas superficiales en un líquido).

Cualquier perturbación respecto al equilibrio de un sistema supone una energía adicional localizada en la región del sistema en la que se encuentra la perturbación. En consecuencia, la propagación de la perturbación va unida al transporte de energía a través del medio sin transporte neto de materia.

La velocidad con la que las ondas se propagan en un medio depende de las características de dicho medio. Cuando la velocidad de propagación de las ondas es la misma para todas las frecuencias se dice que el medio es no dispersivo para esas ondas. En el caso contrario, cuando la velocidad de propagación depende de la frecuencia el medio es dispersivo.

DESCRIPCIÓN

Las ondas en las que la perturbación es paralela a la dirección de propagación se denominan longitudinales. Un ejemplo muy importante lo constituyen las ondas sonoras propagándose en cualquier medio material (sólido, líquido o gaseoso). Durante la propagación de la onda, las moléculas del medio oscilan en la dirección de propagación.

DESCRIPCIÓN

Cuando una cuerda tensa se pulsa o se roza la perturbación resultante se propaga a lo largo de ella. Dicha perturbación consiste en la variación de la forma de la cuerda a partir de su estado de equilibrio: los segmentos de la cuerda se mueven en una dirección perpendicular a la cuerda y por tanto perpendicularmente a la dirección de propagación de la perturbación. Una onda en la que la perturbación es perpendicular a la dirección de propagación se denomina onda transversal.

DESCRIPCIÓN

Cuando dos ondas se encuentran en un punto o una región del espacio, el resultado es una nueva onda cuya perturbación es la suma de las perturbaciones de las dos ondas originales. A continuación consideramos la superposición e interferencia de ondas armónicas. Se denomina interferencia al resultado de la superposición de dos o más ondas armónicas.

Batidos

Este fenómeno es un caso particular de interferencia. Cuando dos trenes de ondas de igual amplitud pero frecuencias ligeramente diferentes coinciden en el espacio, dan lugar a una vibración cuya amplitud varía con el tiempo. Si se trata de ondas sonoras, estas variaciones de amplitud se percibirán como variaciones de sonoridad, o lo que es lo mismo, aumentos o disminuciones periódicas de intensidad, que se denominan batidos o pulsaciones.

Ondas estacionarias

Este fenómeno es un caso particular de interferencia. Se produce cuando una onda llega a una superficie y se refleja totalmente.

Existen varios tipos de ondas estacionarias: podemos diferenciar fácilmente aquellas que se producen al pulsar una cuerda tensa (como se hace en un piano) de las que se producen al excitar por uno de sus extremos una columna gaseosa (como ocurre en los instrumentos musicales de viento)

EJEMPLOS 

Batidos

Pueden obtenerse fácilmente pulsaciones con dos diapasones de igual frecuencia, modificando ligeramente la de uno de ellos con un pequeño trozo de cera adherido a una de sus ramas. Los diapasones que antes sonaban al unísono producirán en este caso pulsaciones muy marcadas.  Si los diapasones tienen frecuencias de 242 Hz y 244 Hz, el oído percibirá un sonido de 243 Hz, produciéndose un batido de 2 Hz, es decir, en 1 segundo el sonido se hará más intenso en dos ocasiones. Es obvio, que conforme las frecuencias de las ondas se aproximan más, la frecuencia del batido es cada vez menor, hasta que cuando se igualan el batido desaparece.

Aunque este fenómeno se produce siempre, el oído humano solo lo percibe cuando las frecuencias de las dos ondas son muy parecidas, ya que en el resto del los casos la amplitud varía demasiado rápidamente para que el oído las distinga (el oído humano puede distinguir hasta 10 pulsaciones por segundo). Cuando las frecuencias son menos parecidas los batidos pueden ser demasiado rápidos para nuestro oído. Ahora bien, aunque los batidos no lleguen a percibirse separadamente sí que pueden modificar el timbre del conjunto.

Las pulsaciones son utilizadas para el afinado de muchos instrumentos musicales. Por ejemplo, es usual la afinación de una cuerda tensándola o aflojándola, tras haber observado la aparición de batidos cuando la cuerda es actuada simultáneamente a un diapasón u otra cuerda de referencia.

Se utilizan también las pulsaciones para detectar pequeños cambios en frecuencia, como los que se producen cuando el haz de un radar se refleja en un coche en movimiento. La variación de la frecuencia del haz reflejado se produce por el efecto Doppler. Esta variación de la frecuencia está relacionada con la velocidad que lleva el coche respecto al radar. Puede determinarse esta velocidad midiendo los batidos producidos por el haz reflejado del radar cuando se combina con el haz original.

DESCRIPCIÓN

Efecto Doppler

El efecto Doppler en ondas sonoras se refiere al cambio de frecuencia que sufren las ondas cuando la fuente emisora de ondas y/o el observador se encuentran en movimiento relativo al medio. La frecuencia aumenta cuando la fuente y el receptor se acercan y disminuye cuando se alejan.

Absorción

Cuando una onda sonora llega a una pared rígida (ideal) se refleja totalmente ya  que la pared no se mueve y no absorbe energía de la onda. Las paredes reales no son nunca completamente rígidas, por lo que pueden absorber parte de la energía de las ondas incidentes.

Reflexión y refracción. Transmisión

Cuando una onda incide sobre una superficie límite de dos medios, de distintas propiedades mecánicas, ópticas, etc, parte de la onda se refleja, parte se disipa y parte se transmite. La velocidad de propagación de las ondas, v, cambia al pasar de un medio a otro, pero no cambia la frecuencia angular w.

Cuando la onda incidente llega formando con la superficie límite un ángulo cualquiera, la onda transmitida modifica su dirección original acercándose o alejándose de la normal. A esta desviación del rayo transmitido se le denomina refracción.

Difracción

La difracción consiste en que una onda puede rodear un obstáculo o propagarse a través de una pequeña abertura. Aunque este fenómeno es general, su magnitud depende de la relación que existe entre la longitud de onda y el tamaño del obstáculo o abertura. Si una abertura (obstáculo) es grande en comparación con la longitud de onda, el efecto de la difracción es pequeño, y la onda se propaga en líneas rectas o rayos, de forma semejante a como lo hace un haz de partículas. Sin embargo, cuando el tamaño de la abertura (obstáculo) es comparable a la longitud de onda, los efectos de la difracción son grandes y la onda no se propaga simplemente en la dirección de los rayos rectilíneos, sino que se dispersa como si procediese de una fuente puntual localizada en la abertura. 

Las longitudes de onda del sonido audible están entre 3 cm y 12 m, y  son habitualmente grandes comparadas con los obstáculos y aberturas (por ejemplo puertas o ventanas), por lo que la desviación de las ondas rodeando las esquinas es un fenómeno común.

Radiación

Se denomina radiación al proceso por el que la energía sonora se transmite de una fuente vibrante a un medio.

Eco y reverberación

El eco es un fenómeno consistente en escuchar un sonido después de haberse extinguido la sensación producida por la onda sonora. Se produce eco cuando la onda sonora se refleja perpendicularmente en una pared. El oído puede distinguir separadamente sensaciones que estén por encima del tiempo de persistencia, que es 0.1 s para sonidos musicales y 0.07 s para sonidos secos (palabra). Por tanto, si el oído capta un sonido directo y, después de los tiempos de persistencia especificados, capta el sonido reflejado, se apreciará el efecto del eco. Para que se produzca eco, la superficie reflectante debe estar separada del foco sonoro una determinada distancia: 17 m para sonidos musicales y 11.34 m para sonidos secos. 

Se produce reverberación cuando las ondas reflejadas llegan al oyente antes de la extinción de la onda directa, es decir, en un tiempo menor que el de persistencia acústica del sonido. Este fenómeno es de suma importancia, ya que se produce en cualquier recinto en el que se propaga una onda sonora. El oyente no sólo percibe la onda directa, sino las sucesivas reflexiones que la misma produce en las distintas superficies del recinto. Controlando adecuadamente este efecto se contribuye a mejorar las condiciones acústicas de locales tales como teatros, salas de concierto y, en general, todo tipo de salas. La característica que define la reverberación de un local se denomina tiempo de reverberación. Se define como el tiempo que transcurre hasta que la intensidad del sonido queda reducida a una millonésima de su valor inicial.

EJEMPLOS 

Efecto Doppler

En las siguientes simulaciones puede observarse el efecto Doppler. Se considera que el emisor emite ondas de forma continua pero solamente se representan los sucesivos frentes de ondas, circunferencias centradas en el emisor, separados por un periodo, de un modo semejante a lo que se puede observar en la experiencia en el laboratorio con la cubeta de ondas.

DESCRIPCIÓN

Desde un punto de vista físico el sonido es una vibración que se propaga en un medio elástico. Para que se produzca sonido se requiere la existencia de un cuerpo vibrante, denominado foco (cuerda tensa, varilla, una lengüeta) y de un medio elástico que transmita esas vibraciones, que se propagan por él constituyendo lo que se denomina onda sonora. 

Tenemos costumbre de distinguir entre sonidos y ruidos. Los primeros son aquellos que nos producen sensación agradable, bien porque son sonidos musicales o porque son como las sílabas que forman las palabras, sonidos armónicos, que encierran cierto significado al tener el oído educado para ellos. Si se obtienen gráficas de registro de las vibraciones de sus ondas se observa que, en general, los sonidos musicales poseen ondas casi sinusoidales, aunque alteradas a veces apreciablemente por la presencia de sus armónicos. Los restantes sonidos armónicos conservan todavía una total periodicidad aunque su gráfica se aleje notablemente de una sinusoide, por estar compuestos de varios grupos de ondas de frecuencias fundamentales distintas, acompañadas de algunos de sus armónicos. Por último los ruidos presentan, de ordinario, gráficas carentes de periodicidad y es precisamente esta peculiaridad lo que produce que la sensación cerebral resulte desagradable o molesta.

Ondas en tres dimensiones: Intensidad

Existen ondas unidimensionales, es decir que se propagan sólo en una línea recta, y también ondas bidimensionales, como las ondas que se propagan sobre la superficie de un líquido, o en un caso más general, ondas tridimensionales, como las ondas sonoras producidas por un foco puntual. En el caso de las ondas bidimensionales los frentes de onda son circunferencias concéntricas, mientras que en las tridimensionales son superficies esféricas concéntricas.

El movimiento de un conjunto cualquiera de frentes de ondas puede indicarse mediante rayos, que son líneas perpendiculares en cada punto a los frentes de onda. En el caso de frentes circulares o esféricos, los rayos son rectas radiales.

El oído humano puede acomodarse a un intervalo de intensidades sonoras bastante grande, desde 10^-12 w/m² aproximadamente (que normalmente se toma como umbral de audición), hasta 1 w/m² aproximadamente que produce sensación dolorosa en la mayoría de las personas. Debido a este gran intervalo y a que la sensación fisiológica de fuerza sonora no varía directamente con la intensidad, se utiliza una escala logarítmica para describir el nivel de intensidad de una onda sonora.

Cualidades del sonido

Generalmente se utilizan cuatro cualidades subjetivas para describir un sonido musical: intensidad, tono, timbre y duración. Cada uno de estos atributos depende de uno o más parámetros físicos que pueden ser medidos.

Desde el punto de vista de la intensidad, los sonidos pueden dividirse en fuertes y débiles. La intensidad depende principalmente de la presión sonora (intensidad), pero también del espectro de parciales y de la duración.

El tono o altura es la cualidad que nos permite distinguir entre un sonido agudo o alto y otro grave o bajo. Para un sonido puro el tono viene determinado principalmente por  la frecuencia, aunque también puede cambiar con la presión y la envolvente.

El timbre de un sonido es la cualidad en virtud de la que podemos distinguir dos sonidos de igual frecuencia e intensidad emitidos por dos focos sonoros diferentes. El timbre se debe a que generalmente un sonido no es puro y depende principalmente del espectro. Pero también depende en gran manera de la envolvente y de la  frecuencia.

La duración física de un sonido y la percibida están muy relacionadas aunque no son exactamente lo mismo. La duración percibida es aquel intervalo temporal en el que el sonido persiste sin discontinuidad.

Las cuatro cualidades están relacionadas con diversas magnitudes físicas. Esta relación es diferente para cada una de ellas, y puede resumirse en el siguiente cuadro:

EJEMPLOS 

Mediante el análisis de Fourier y la transformada de Fourier es posible describir formas de ondas complejas como las que producen los instrumentos musicales.