VIBRACION

La energía cinética es una forma de energía debida al movimiento de los cuerpos. Equivale al trabajo que es necesario realizar para que el cuerpo pase del estado de reposo ( v = 0 ) al estado de desplazamiento con una velocidad v. Esta definición de energía cinética puede considerarse una de las formas clásicas del teorema del trabajo. La energía cinética se representa normalmente mediante las letras K (que proviene del término inglés Kinetic), T o mediante la expresión Ec.

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Tabla de contenidos

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1 Mecánica clásica
- 1.1 Energía cinética de traslación.
- 1.2 Energía cinética de rotación.
2 Relatividad especial

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Mecánica clásica

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Energía cinética de traslación.

En mecánica clásica un cuerpo de masa m desplazándose a una velocidad v posee una energía cinética:

$K = \frac{1}{2} m \cdot v^2$

[

Energía cinética de rotación.

Si un cuerpo está rotando su energía cinética de rotación o energía cinética angular se calcula como:

$K_r = \begin{matrix} \frac{1}{2} \end{matrix} I \omega^2$ ,

donde:

K_r es la energía de rotación.
I es el momento de inercia del cuerpo respecto al eje de rotación.
ω representa la velocidad angular de rotación.

En general la energía cinética total de un cuerpo extenso es la suma de sus energías cinéticas de traslación y rotación.

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Relatividad especial

En el contexto de la relatividad especial de Albert Einstein el valor de la masa depende de la velocidad relativa del observador por lo que la exprexión resultante para la energía cinética es:

$K=\frac{1}{2} \gamma m_0 v^2$ ,

donde $γ$ es el factor de Lorentz y $m 0$ es el valor de la masa en reposo del cuerpo. El factor de Lorentz puede escribirse como:

$\gamma= \frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ .

Una expresión equivalente a la anterior pero más elegante se encuentra fácilmente utilizando el principio de equivalencia masa energía de la relatividad general.

$K = m_0 c^2 (\gamma - 1) = \left( \frac{1}{\sqrt{1- v^2/c^2 }} - 1 \right) m_0 c^2$

donde

K es la energía cinética
v es la velocidad del cuerpo
m₀ es la masa en reposo del cuerpo
c es la velocidad de la luz.
γmc² es la 'energía total del cuerpo
mc² es la energía equivalente de la masa en reposo.

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Energía Potencial

Una fuerza es conservativa si su dependencia del vector posición r o de las coordenadas x, y, z de la partícula es tal que el trabajo W puede ser expresado como la diferencia entre los valores de una cantidad Ep(x,y,z) evaluada en los puntos inicial y final. La cantidad Ep(x,y,z) se llama energía potencial, y es una función de las coordenadas de las partículas. Luego, si F es una fuerza conservativa,

Obsérvese que escribimos Ep,A - Ep,B y no Ep,B - Ep,A; esto es, el trabajo efectuado es igual a Ep en el punto inicial menos Ep en el punto final. En otras palabras,

la energía potencial es una función de las coordenadas tal que la diferencia entre sus valores en las posiciones inicial y final es igual al trabajo efectuado sobre la partícula para moverla de su posición inicial a la final.

Estrictamente hablando, la energía potencial Ep debe depender tanto de las coordenadas de la partícula considerada, como de las coordenadas de todas las otras partículas del universo que interactúan con ella. Sin embargo, como mencionamos en el capítulo 7 cuando tratábamos de la dinámica de una partícula, suponemos el resto del universo esencialmente fijo, y así solamente las coordenadas de la partícula considerada aparecen en Ep.

El estudiante debe notar, comparando la ec. (8.17) con la expresión de la energía cinética (8.12), que la ec. (8.12) es válida en general no importando de qué fuerza F se trate. Siempre se cumple que Ek = 1/2mv2, mientras que la forma de la función Ep(x,y,z) depende de la naturaleza de la fuerza F, y no todas las fuerzas pueden satisfacer la condición establecida por la ec. (8.17). Sólo aquellas que la satisfagan se llaman conservativas...

En la definición de la energía potencial siempre interviene una constante arbitraria, ... Gracias a esta arbitrariedad, podemos definir el nivel de referencia más conveniente, y por ello la energía potencial debida a la gravedad es tomada como nula en la superficie terrestre. Para un satélite natural o artificial, se define la energía potencial de modo que sea cero a distancia infinita.

el trabajo efectuado por las fuerzas conservativas es independiente de la trayectoria. ...

Para satisfacer la ec. (8.17) es necesario que

porque entonces

de acuerdo con la ec. (8.17).

..., podemos escribir en lugar de la ec. (8.21)

..., FT es la componente de la fuerza a lo largo de la dirección del desplazamiento ds; por tanto, si conocemos Ep(x, y, z), podemos obtener la componente de F en cualquier dirección computando la cantidad -dEp/ds, que es la derivada de Ep en aquella dirección, con signo negativo. Esto es lo que se llama la derivada direccional de Ep. Cuando un vector es tal que su componente en una dirección es igual a la derivada direccional de una función es aquella dirección, el vector se llama el gradiente de la función. (Alonso y Finn, 1, 213-6)]

[Suponemos aquí que las fuerzas son conservativas; entonces Ep(r) será una función escalar de posición, unívoca y Ep(B) - Ep(A) será igual al aumento de la energía cinética de la partícula al regresar de B a A al cesar de actuar la fuerza aplicada. (Berkeley, 1, 147)]

[En una dimensión

de donde se obtiene por derivación

La ecuación (46) es un ejemplo del resultado general de que la fuerza aplicada representa la variación de la energía potencial por unidad de longitud. (Berkeley, 1, 150-151)]

El signo de la fuerza es una cuestión de convenio. Así, cuando la fuerza aumenta la energía potencial se considera positiva y cuando disminuye la energía potencial se considera negativa: la fuerza de la gravedad es negativa y la fuerza de oposición a la gravedad (del suelo o de un organismo) es positiva.}

[Problema 1.11 Con la aplicación de la segunda ley de Newton a la traslación de un cuerpo rígido, ilustre el origen de los términos energía potencial y cinética en la ecuación de energía para un sistema puramente mecánico.

La segunda ley de Newton para este sistema es:

donde v es la velocidad del cuerpo y F es la fuerza total externa que actúa sobre el cuerpo paralela a su desplazamiento dl. El trabajo total efectuado por el cuerpo contra la fuerza es entonces:

Con la sustitución de (1) en (2), se obtiene:

La ecuación (3) es una expresión perfectamente general para el trabajo mecánico total efectuado por el cuerpo rígido en traslación, y la ecuación no se basa en suposiciones con respecto a la naturaleza de la fuerza F. Sin embargo, F se considera convenientemente como la suma de dos tipos de fuerzas, fuerzas de cuerpo FB y fuerzas superficiales FS.

F = FB + FS (4)

Las fuerzas de cuerpo se llaman así porque actúan en todo el volumen de un sistema; las fuerzas superficiales actúan sobre un área de la superficie limitante de un sistema. Por (2) y (4), entonces, el trabajo total puede considerarse:

W = WB + WS (5)

Donde

Las fuerzas de cuerpo son fuerzas conservativas. Esto significa que se pueden derivar de una función potencial V(l), la cual depende sólo de la ubicación del sistema, por medio de diferenciación con respecto a la coordenada de posición. Así, para el siguiente caso:

Al sustituir (8) en (6), se obtiene:

file:/home/internet/Documents/fisca/mecani49.gif(9) Puesto que la diferencia DV depende únicamente de las posiciones inicial y final del sistema y no de la trayectoria seguida entre estas posiciones, el trabajo efectuado contra las fuerzas de cuerpo es independiente de la trayectoria. Si se define la energía potencial Ep como Ep º V, se puede escribir (9) como

WB = DEp (10)

Las fuerzas superficiales (por ejemplo, la fricción) son, en general, no conservativas y usualmente se escriben expresiones como (7) para el trabajo efectuado contra tales fuerzas. La combinación de (5) y (10) da

W = DEp + WS (11)

La ecuación (11) es una alternativa de (3) y las dos ecuaciones pueden aplicarse al mismo proceso. Haciendo esto y reacomodando, se obtiene la ecuación de energía

-WS = DEk + DEp (12)

Cuando no hay fuerzas superficiales (12) se reduce a

DEk + DEp = 0 o Ek +

la cual es el muy conocido 'principio de conservación de energía' de la mecánica clásica.

El término trabajo en la primera ley de la termodinámica, por lo general, representa el trabajo efectuado por las fuerzas superficiales y el sistema termodinámico común, no es, por supuesto, un cuerpo rígido. (Abbott y Vanness, 20-21)]

Vibración

Energía cinética